七、泰勒公式与泰勒级数

1. 单变量函数的泰勒公式

[泰勒局部公式]  如果函数f(x)满足条件:(i)在点a的某邻域内有定义,(ii)在此邻域内有一直到阶的导数,,(iii)在点a处有n阶导数,那末f(x)在点a的邻域内可表成以下各种形式:

1°  f (a+h)= f (a)+

             =             (当h→0)

2°  f (x)= f (a)+

          =          (当x→a)

特别,当a=0时,有

[马克劳林公式]

f (x)= f (0)+

                    =       (当x→0)

[泰勒公式]  如果函数f (x)满足条件:(i)在闭区间[a,b]上有定义,(ii)在此闭区间上有一直到n阶的连续导数,(iii)当a<x<b时有有限导数,那末f(x)在闭区间[a,b]上可表成以下各种形式:

1°  f(a+h)=                (a<a+h<b)

式中               R_n(h)=    (0<θ<1)    (拉格朗日型余项)

或                 R_n(h)=   (0<θ<1)   (柯西型余项)

2°   f(x)=  ()

式中               R_n(x)=  (a<ξ<b)         (拉格朗日型余项)

或                R_n(x)=  (0<θ<1)    (柯西型余项)

特别,当a=0时,有

[马克劳林公式]

        f(x)=               ()

式中                R_n(x)= (a<ξ<b)        (拉格朗日型余项)

或                  R_n(x)= (0<θ<1)     (柯西型余项)

[泰勒级数]  在带余项的泰勒公式2°中,如果把展开式进行到()的任意高的乘幂,则有

f(x)=f(a)+

不论它是否收敛,以及它的和是否等于f(x),都称它为函数f(x)的泰勒级数.()的乘幂的系数

f(a),,,…,,…

称为泰勒系数.

[马克劳林级数]  在带余项的马克劳林公式中,如果展开式进行到x的任意高的乘幂,则有

f(x)=f(0)+

不论它是否收敛,以及它的和是否等于f(x),都称它为函数f(x)的马克劳林级数.x的乘幂的系数

f (0),,,…,,…

称为马克劳林系数.

多项式的泰勒公式(秦九韶法)见第三章,§2,一.